カメラの三脚とアフィン結合

3次元空間において、超平面(2次元超平面)にカメラを固定する三脚は、その名の通り脚が三本ある。

言い換えれば、3次元空間においては超平面(2次元超平面)を指定するのには一般の位置にあるベクトルが3本あればよい、ということ。

それ以上は、追加されるベクトルに対して、同一平面にあるという条件がつくか、ベクトルが指定するのが平面でなく、空間になってしまう。

これを一般化して、n次元空間において、n-1次元超平面をしていするのには一般の位置にあるベクトルが何本必要か。

三脚で例えれば、n次元空間で、n-1次元超平面にカメラを固定する三脚(この場合脚は必ずしも3本でないので、こう呼んでよいのかは微妙なところである)の脚は何本になるか、という問題。

直観的にいえば、n本であるが、少し数学的に言うとこれはいくつかのベクトルのアフィン包を考えるのと同じだから、やはり、n本でよい。

たとえば、ベクトルは一般の位置にあるとして、二つのベクトルのアフィン包は直線であり(一次元)

三つのベクトルでは平面(2次元)となる。

いくつかのベクトルのアフィン結合は一つのベクトルを原点と見て線形結合をとったものであるから、このようになる。

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