概収束と確率収束

何度見ても,大抵,数日後には定義すら忘れている.

そんな負の連鎖を断ち切るために,メモしておく(あくまで,自分の理解の範囲,間違ってるかもよ).

(メモを見返す ≒ 忘れている, という反論は受けつけない)

まず,定義.

概収束

$$P\left( \left\{ \omega : \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X(\omega) \right\} \right) = 1$$

確率収束

$$\forall \epsilon > 0: \lim_{n \to \infty} P\left(\{\omega : |X_n(\omega) - X(\omega)| > \epsilon\}\right) = 0$$

概収束のイメージ?

$X_n$ を関数だとおもってしまえば, 各点で $X$ に収束している.

$n \to \infty$ で $X_n$ と $X$ は同じとみなして良い(?).

確率収束のイメージ?

$X_n$ で $X$ を予想しようとする.「予想がはずれる」を $|X_n - X| > \epsilon $ と定義すれば,

予想がはずれる確率が $n \to \infty$ で 0 に収束する.

概収束と確率収束の違い?

多分,大きな違いは概収束では $X_n$ の収束が要求されているが, 確率収束では収束が要求されていない点か.

というわけで,確率収束するが,概収束しない例を見てみる.

標本空間を $[0,1]$ として,$X_n$ を次のように定める.

$X_1$ を $[0,12]$ で 1. それ以外は 0.

$X_2$ を $[12,1]$ で 1. それ以外は 0.

$X_3$ を $[0,14]$ で 1. それ以外は 0.

$X_4$ を $[14,24]$ で 1. それ以外は 0.

$X_5$ を $[24,34]$ で 1. それ以外は 0.

$X_6$ を $[34,1]$ で 1.それ以外は 0.

$X_7$ を $[0,18]$ で 1. それ以外は 0.

$X_8$ を $[18,28]$ で 1. それ以外は 0.

もう書くの疲れた.

と以下同様にする.

$X_n$ のイメージは, 徐々に 1 を取る範囲が狭くなっていき, 1を取る範囲が $[0,1]$ をぐるぐる回る.

$X_n$ は 0 には収束しない.

つまり, $X_n$ は 0 概収束しない. ぐるぐる回るから.

しかし, $X_n$ は 0 に確率収束する. 1の範囲がどんどん狭くなるから.

おしまい.