概収束と確率収束

何度見ても，大抵，数日後には定義すら忘れている．

そんな負の連鎖を断ち切るために，メモしておく（あくまで，自分の理解の範囲，間違ってるかもよ）．

（メモを見返す ≒ 忘れている，という反論は受けつけない）

まず，定義．

$$P\left( \left\{ \omega : \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X(\omega) \right\} \right) = 1$$

$$\forall \epsilon > 0: \lim_{n \to \infty} P\left(\{\omega : |X_n(\omega) - X(\omega)| > \epsilon\}\right) = 0$$

$X_n$ を関数だとおもってしまえば，各点で $X$ に収束している．

$n \to \infty$ で $X_n$ と $X$ は同じとみなして良い（？）．

$X_n$ で $X$ を予想しようとする．「予想がはずれる」を $|X_n - X| > \epsilon $ と定義すれば，

予想がはずれる確率が $n \to \infty$ で 0 に収束する．

多分，大きな違いは概収束では $X_n$ の収束が要求されているが，確率収束では収束が要求されていない点か．

というわけで，確率収束するが，概収束しない例を見てみる．

標本空間を $[0,1]$ として，$X_n$ を次のように定める.

$X_1$ を $[0,1/2]$ で 1．それ以外は 0.

$X_2$ を $[1/2,1]$ で 1．それ以外は 0．

$X_3$ を $[0,1/4]$ で 1．それ以外は 0.

$X_4$ を $[1/4,2/4]$ で 1. それ以外は 0.

$X_5$ を $[2/4,3/4]$ で 1．それ以外は 0.

$X_6$ を $[3/4,1]$ で 1．それ以外は 0.

$X_7$ を $[0,1/8]$ で 1. それ以外は 0.

$X_8$ を $[1/8,2/8]$ で 1. それ以外は 0.

…

もう書くの疲れた．

と以下同様にする．

$X_n$ のイメージは, 徐々に 1 を取る範囲が狭くなっていき， 1を取る範囲が $[0,1]$ をぐるぐる回る．

$X_n$ は 0 には収束しない．

つまり， $X_n$ は 0 概収束しない．ぐるぐる回るから．

しかし， $X_n$ は 0 に確率収束する． 1の範囲がどんどん狭くなるから．

おしまい．

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