凸包の性質 – caratheodoryの定理

¥forall S ¥subseteq ¥mathbb R ^ nについて、その凸包{¥rm co}SSに属す高々n+1個の点の凸結合全体の集合に等しい。

 {¥rm co}S = ¥left¥{{¥bf x} ¥left|{¥bf x} = ¥sum_{i=1}^{n+1}¥alpha_i{¥bf x}^i,{¥bf x}^i ¥in S,¥sum_{i=1}^{n+1}¥alpha_i = 1,¥alpha_j ¥geq 0 , ¥forall j = 1,2,¥ldots,n+1¥right.¥right¥}

caratheodoryって、測度論でもでてきたような…空手踊り外測度とか。