かわったランダムウォーク

次のような一次元ランダムウォークについてt(>0)ステップ移動後の位置の平均値と分散を求めよ。位置0から出発し、1ステップ目では確率¥alphaで位置1に確率(1-¥alpha)で位置-1に移動する。n¥geq 2に対しては、(n-1)ステップ目で正の向きに動いた場合、nステップ目では正の向きへ確率¥alpha、負の向きへ確率(1-¥alpha)1進むものとする。また、(n-1)ステップ目で負の向きへ動いた場合、nステップ目では負の向きへ確率¥alpha、正の向きへ確率(1-¥alpha)1進むものとする。ただし、0<¥alpha<1である。

iステップでの変位をX_iであらわす。nステップ移動の位置の期待値E_n

E_n=E¥left[¥sum_{i=1}^{n}X_i¥right¥] = E ¥left[E¥left[¥left.¥sum_{i=1}^nX_i¥right|X_1¥right¥]¥right¥]

と表現できる。

ここで、

 E¥left[¥left.¥sum_{i=1}^nX_i¥right|X_1=1¥right¥] =  E¥left[¥sum_{i=1}^{n-1}X_i¥right¥] +1

 E¥left[¥left.¥sum_{i=1}^nX_i¥right|X_1=-1¥right¥] =  -E¥left[¥sum_{i=1}^{n-1}X_i¥right¥] -1

従って、次の漸化式が成り立つ。

 E_n=¥alpha (E_{n-1}+1) + (1-¥alpha)(-E_{n-1}-1)=(2¥alpha -1)(E_n+1)

この漸化式を変形して、

 E_n +¥frac{2¥alpha-1}{2(¥alpha-1)} = (2¥alpha -1)¥left(E_{n-1}+¥frac{2¥alpha-1}{2(¥alpha-1)}¥right)

これを解いて

 E_n = ¥frac{2¥alpha-1}{2(¥alpha-1)}¥left((2¥alpha-1)^n-1¥right)

E¥left[¥left(¥sum_{i=1}^nX_i¥right)^2¥right¥]も同じように、漸化式によって表現することができる。

あとはとけばいいだけだが、計算が面倒だし、答えが複雑なんだよなー。

 Var¥left¥[¥sum_{i=1}^nX_i¥right¥] = ¥frac{(2¥alpha-1)-(2¥alpha-1)^n}{2(¥alpha-1)}+¥frac{¥alpha}{1-¥alpha}n-¥left(¥frac{2¥alpha-1}{2(¥alpha-1)}¥right)^2¥left((2¥alpha-1)^n-1¥right)^2

とりあえず¥alpha=¥frac 1 2のときはあっていることを確認した。

次は¥alpha ¥to 1なんだけど、式が複雑で途中で挫折(やる気喪失)した。

あってるっぽいんだけどね。間違ってても不思議ではない、計算ミス大いにあり得る。

More Reading